Le centre optique et ses images

Fig. 01 : Centre optique O du Zoom-Nikkor 35-70 mm f/3.5 à la distance focale nominale de 35 mm (voir également Fig. 23).

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Situer le centre optique d’une lentille mince ou d’un objectif symétrique est assez intuitif ; après tout, dans l’expression “centre optique”, le mot “centre” n’a pas été choisi par hasard !

Localiser le centre optique d’une lentille réelle (épaisse) et dissymétrique est déjà moins évident ; d’autant plus que le mot “centre” peut sembler, ici, moins... pertinent.

Enfin, lorsqu’il est question d’objectifs composites et dissymétriques, la notion de centre optique devient nettement plus ténébreuse....

Cette page tente d’apporter un peu de lumière sur ce point très généralement ignoré dès qu'il est question de systèmes épais, car non cardinal.

Sommaire :

 

1 – Centre optique d’une lentille.

2 – La lentille mince.

3 – Centre optique des objectifs (systèmes composites épais).

3-1 – Objectifs symétriques.

3-2 – Objectifs dissymétriques.

4 – Annexe : principe de fonctionnement des appareils panoramiques à objectif tournant.

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  Centre optique d'une lentille.

Le centre optique d’une lentille est le point O de l’axe optique tel que tout rayon passant par ce point émerge selon une direction parallèle à sa direction incidente.

Fig. 02 : Centre optique O d’une lentille.

Figure suivante ; pour que le rayon incident a1 soit parallèle au rayon émergent a2, il faut et il suffit que le plan P1 tangent à la face d’entrée de la lentille en y1 soit parallèle au plan P2 tangent à la face de sortie en y2. Pour ce rayon, la lentille apparaît donc comme une lame transparente à faces parallèles. La droite normale à P1 passant par y1 et le centre de courbure C1 de la face d’entrée est parallèle à la droite normale à P2 passant par y2 et le centre de courbure C2 de la face de sortie :

C1y1 // C2y2

Fig. 03 : Lentille convergente dissymétrique (cas général) – Position du centre optique O (tous les termes sont en valeur algébrique).

Des relations [1] et [2] ci-dessus on peut déduire que :

- le centre optique est fixe et unique car sa position ne dépend que de la géométrie de la lentille (elle est indépendante du point d’entrée y1 du rayon) ;

- le centre optique d’une lentille dissymétrique est plus proche de la face de plus faible rayon de courbure ;

- le centre optique d’une lentille symétrique (équiconvexe ou équiconcave) est situé au centre de la lentille (centre de symétrie) ;

- le centre optique d’une lentille plan-convexe ou plan-concave est situé au sommet de la face courbe.

Fig. 04 : Centre optique O d’une lentille plan-convexe et d’une lentille bi-concave.

Il ressort également de ces expressions que le centre optique d’un ménisque convergent est situé à l’avant du segment S1S2, alors que le centre optique d’un ménisque divergent est situé à l’arrière de ce segment.

Nota :

Optiquement, O appartient au verre de la lentille.

Fig. 05 : Centre optique O des deux types de ménisques.

Lorsque les conditions de Gauss sont respectées, si a1 est parallèle à a2, alors la droite portant le rayon incident a1 coupe l’axe optique au point nodal objet N, et la droite portant le rayon émergent a2 coupe l’axe optique au point nodal image N’ (voir figure suivante).

Fig. 06 : Positionnement graphique des points nodaux N et N’.

Contrairement aux points nodaux N et N’, la position du centre optique O d’une lentille n’est pas assujettie aux conditions de Gauss ; quelle que soit leur inclinaison, si le rayon incident est parallèle au rayon émergent, alors ils passent par le centre optique. Celui-ci est fixe, unique, et indépendant de l’indice de la lentille.

Fig. 07 : Fixité et unicité du centre optique.

Remarque :

L'animation ci-dessus met aussi en évidence le fait que les droites portant les rayons incident et émergent ne passent pas par les points nodaux lorsque les conditions de Gauss ne sont pas respectées (inclinaison trop forte ).

Le point nodal objet N est l’image paraxiale du centre optique O à travers le premier dioptre.

Le point nodal image N’ est l’image paraxiale du centre optique O à travers le second dioptre (voir figure suivante).

Fig. 08 : Les points nodaux N et N’ sont les images paraxiales du centre optique O.

Remarque :

En dehors du cadre des conditions de Gauss, les images O1 et O2 du centre optique O sont différentes de N et N'. Leur position varie continûment avec l'angle w1.

Fig. 09 : Images de O uniquement dans le cadre des conditions de Gauss.

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  La lentille mince.

Une lentille est dite “mince” si son épaisseur axiale S1S2 est négligeable par rapport aux rayons de courbures de ses faces, et par rapport à la distance entre leur centre de courbure. Si ces conditions sont respectées, les points nodaux N et N’ peuvent être considérés comme confondus avec le centre optique O. De fait, les rayons incidents et émergents passant par O sont portés par une même droite. C’est précisément cette particularité de la lentille mince qui rend les choses si simples, si intuitives, et donne tout son sens à la notion de “centre optique”.

Nota :

Implicitement, la forme d’une lentille mince (symétrique, dissymétrique, biconcave, ménisque, etc.) est indéterminée. Utilisée dans l’air (même indice dans les espaces objet et image), ses points principaux H et H’ sont confondus avec ses points nodaux N et N’ eux-mêmes confondus avec son centre optique O. Ses pupilles d’entrée et de sortie, centrées sur O, sont perpendiculaires à l’axe optique.

Concept essentiellement théorique, la “lentille mince” est utilisé en optique paraxiale. Son centre optique O et ses deux foyers F et F’ suffisent à la caractériser.

Les rayons passant par le centre optique de la lentille mince n’étant pas déviés, nous pouvons :

- déterminer la position et le grandissement de l’image de tout objet, en effectuant le tracé de deux rayons seulement ;

- construire la projection d’une scène sur le plan image en utilisant le centre optique comme centre de perspective.

Si la lentille mince pivote autour de son centre optique il n’y a pas de changement de point de vue, et la perspective n’est donc pas modifiée —la rotation n’induit aucun défaut de parallaxe. Ainsi, les images de deux points objets A et B portés par une droite passant par O se superposent parfaitement quelle que soit l’orientation de la lentille * (voir figure animée suivante).

* Sur le récepteur, les images se superposent parfaitement mais seule l’image située dans le plan de mise au point est nette.

Fig. 10 : Centre optique O d’une lentille mince convergente. La perspective n’est pas modifiée si la lentille tourne autour de son centre optique O.

Quelle que soit la position angulaire de la lentille mince, si celle-ci oscille autour de son centre optique O, l’image A’ d’un point objet A reste sur l’axe AO (voir animation suivante).

Cependant, tout foyer secondaire (comme F1’) étant plus éloignés de O que le foyer principal F’, on observe un déplacement axial du point image A’ lors de l’oscillation de la lentille.

Fig. 11 : L’image A’ d’un objet A infiniment éloigné reste sur l’axe AO quelle que soit l’orientation de la lentille mince.

Pour une lentille mince, la notion de “centre optique” est véritablement fondamentale. Qu’en est-il du centre optique d’un objectif réel au système composite et épais ?

Dans un système épais, une singularité perd ses propriétés au profit de ses images telles qu’elles apparaissent à travers les dioptres situés de part et d’autre. Ainsi, les caractéristiques du diaphragme d’ouverture d’un objectif ne présentent aucun intérêt pratique, alors que les caractéristiques de ses images —les pupilles d’entrée et de sortie— sont très importantes. De la même manière, le centre optique n’intervient pas directement dans la compréhension d’un système épais, alors que ses images —les points nodaux N et N’— sont fondamentaux.

L’animation suivante illustre le passage d’une lentille mince à un système épais d’égale distance focale en représentation symbolique. L’espace compris entre les deux plans principaux, l’interstice, peut être considéré comme l’épaisseur optique du système. Dans un tel système, le centre optique n’est pas représenté ; selon la vergence des éléments situés de part et d’autre, il peut être situé n’importe où entre les plans principaux, ou bien au-delà (voir plus loin). Sa position n’a aucune incidence sur la construction du schéma.

Nota :

L’interstice peut être positif ou négatif.

Si le système baigne dans l’air, les points principaux H et H’ (à l’intersection de l’axe optique avec les plans principaux) sont respectivement confondus avec les points nodaux N et N’.

Sauf cas très particulier, dans un système épais, le centre optique ne présente aucune propriété “pratique”, comme la rotation sans défaut de parallaxe, ou la rotation avec stabilité axiale de l’image. Celles-ci reviennent à la pupille d’entrée ou au point nodal image du système.

Fig. 12 : Transition lentille mince vers système épais —représentation symbolique.

Un système épais (lentille ou objectif) est caractérisé par six points cardinaux :

- les points nodaux N et N’,

- les points principaux H et H’,

- les foyers F et F’.

Le centre optique n’en fait pas partie.

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  Centre optique des objectifs (systèmes composites épais).

On peut distinguer deux types d’objectifs :

- les objectifs parfaitement symétriques (rares) dont le centre optique est localisé au centre de symétrie du système, indépendamment des éléments situés de part et d’autre ;

- les objectifs dissymétriques (représentant la quasi totalité des objectifs utilisés dans l’audiovisuel) dont la position du centre optique dépend des caractéristiques (vergence, position) des éléments du système.

3-1    Objectifs symétriques.

Généralement conçus pour la reproduction de documents à des valeurs de grandissement proches de l’unité, les objectifs rigoureusement symétriques ne sont pas nombreux. Par leur principe même, ils sont exempts de distorsion, de coma et d’aberration chromatique latérale.

Comme dans le cas d'une lentille symétrique, le centre optique d’un objectif symétrique coïncide très naturellement avec le centre de symétrie du système optique : tout rayon incident passant par le centre optique possède un symétrique par symétrie centrale émergeant selon une direction parallèle au rayon incident. De fait, la position du centre optique de ce type d’objectifs n’est pas assujettie aux conditions de Gauss.

Fig. 13 : Lentille simple symétrique et objectif Bausch & Lomb 100 mm f/3.5 symétrique à trois éléments.

Le centre optique O est situé à l’intersection de l’axe optique avec le plan de symétrie du système (notez l’inversion des points nodaux N et N’).

Lorsque les conditions de Gauss sont respectées, si le rayon incident est parallèle au rayon émergent, alors la droite portant le rayon incident coupe l’axe optique au point nodal objet N, et la droite portant le rayon émergent coupe l’axe optique au point nodal image N’.

La plupart des objectifs symétriques comportent un nombre pair d’éléments, et un diaphragme d’ouverture placé dans le plan de symétrie du système (voir à la figure suivante, un Dagor de 1893 et un Aviogon de 1953).

Fig. 14 : Centre optique O d’un Dagor et d’un Aviogon (tous deux symétriques par rapport au diaphragme d’ouverture).

Puisque le centre du diaphragme d’ouverture est confondu avec le centre optique O, les centres P et P’ des pupilles d’entrée et de sortie (images du diaphragme d'ouverture) sont respectivement confondues avec les points nodaux N et N’, images de O (voir également ici).

Fig. 15 : Distorsion pupillaire de l’Aviogon 75 mm f/4.5.

Remarque :

La distorsion pupillaire de l’Aviogon 75 mm f/4.5 est particulière : le plan des pupilles est toujours quasiment normal à la direction du faisceau qui les traverse. Ceci contribue à atténuer le phénomène de vignettage. Pour cet objectif, le basculement des pupilles à lieu sans décalage latéral.

Le point autour duquel un système épais doit tourner pour qu’aucun défaut de parallaxe n’apparaisse sur l’image est le centre P de la pupille d’entrée. Dans le cas d’un objectif symétrique, ce point P coïncide avec le point nodal objet N. Pour réaliser un panorama d’une scène tridimensionnelle par assemblage de plusieurs vues, il convient donc de faire tourner l’ensemble objectif-récepteur autour de N.

L’illustration suivante montre que, lorsque l’objectif tourne autour du point nodal objet N, le point de vue ne change pas : les images des objets portés par une même droite passant par N se superposent sur le récepteur quelle que soit la position angulaire de l’objectif. C’est parce que la position relative des points images les uns par rapport aux autres est indépendante de leur position sur le récepteur d’image que l’assemblage de plusieurs vues prises dans ces conditions est possible.

Cet objectif symétrique d’origine Xerox appartient à la même famille que l’Aviogon ; ses pupilles présentent les mêmes particularités.

Fig. 16 : Objectif Xerox 155 mm f/10 – Rotation de 30° axée sur le point nodal objet N. Mise au point à l’infini (A’ est net, B’ est flou).

Remarque :

Une scène constituée uniquement d’objets situés à l’infini, comme un paysage sans premier plan, peut être considérée comme bidimensionnelle (ou plane). Dans ce cas précis, quel que soit le point de rotation choisi, aucun défaut de parallaxe ne peut apparaître.

Conséquence de la définition même des points nodaux, lorsque l’objectif oscille autour de son point nodal image N’, l’image A’ d’un objet A infiniment éloigné reste sur l’axe AN’ (voir figure suivante). Au cours de l’oscillation de l’objectif on observe cependant une défocalisation sensible du point image A’ due au fait que le plan focal de l’objectif tourne également autour de N’ —les foyers des faisceaux inclinés (foyers secondaires) étant plus éloignés de N’ que le foyer principal F’).

Fig. 17 : Objectif Xerox 155 mm f/10 – Oscillation de 30° autour du point nodal image N’. Stabilité axiale du point image.

Cette stabilité axiale de l’image observée derrière un objectif en rotation autour de son point nodal image N’ est mise à profit dans les appareils à objectifs tournant pour construire une image panoramique sur un récepteur cylindrique (voir annexe).

Lorsque l’objectif oscille autour de son point nodal image N’, le point de vue change à chaque instant. Aussi, les images A’ et B’ de deux points objets A et B portés par une droite passant par N’ ne se superposent plus dès que l’objectif s’incline.

Fig. 18 : Objectif Xerox 155 mm f/10 – Oscillation de 30° autour du point nodal image N’. Mise en évidence du défaut de parallaxe.

Nota :

Un appareil à objectif tournant autour de son point nodal image N’ permet néanmoins la photographie de scènes présentant une succession de plans si l'interstice de l'objectif est très court (N proche de N’).

L’oscillation de l’objectif autour du point nodal image N’ assure uniquement la stabilité axiale de l’image des objets infiniment éloignés. Pour assurer la stabilité axiale de l’image aux valeurs de grandissement plus proches de l’unité, l’objectif doit osciller autour d’un point O’ dont la position est donnée par la relation :

O’B’ / O’B = g

Si g = –1, alors BO’ = O’B’

L’axe d’oscillation O’ se situe donc à égale distance de B et B’, soit au centre de symétrie de l’ensemble objet-objectif-image ; O’ est ainsi confondu avec le centre optique O, (voir animation suivante).

Fig. 19 : Objectif Repro-Nikkor 85 mm f/1.0 (symétrique). Stabilité axiale du point A’, image du point A (g = –1).

Remarque :

Aux fortes valeurs de grandissement, le phénomène de défocalisation est amplifié par la variation de la distance du point objet induite par l’oscillation de l’objectif.

3-2    Objectifs dissymétriques.

Les objectifs dissymétriques représentent la quasi totalité des objectifs utilisés dans l’audiovisuel.

Dans un système dissymétrique il existe également un point O sur l’axe optique, tel que tout rayon passant par ce point émerge selon une direction parallèle à sa direction incidente. Cependant, et contrairement aux cas précédents, sa position est assujettie aux conditions de Gauss. Les images paraxiales du point O, tel qu’il apparaît à travers les dioptres situés de part et d’autre, sont les points nodaux N et N’ du système.

Bien que conforme à la définition du centre optique (aux conditions de Gauss près), ce point O est très généralement ignoré. Dans la suite de cet article il est toujours nommé “centre optique”.

Exemple 1

Selon la distance de mise au point affichée, le centre optique O de l’Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro est situé entre 9,7 et 12,3 mm derrière le diaphragme d’ouverture. Les points nodaux N et N’ sont tous deux à droite du point O (voir figures suivantes).

Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro – Centre optique.

Fig. 20-1 : Objectif en configuration de mise au point à l’infini.

Fig. 20-2 : Objectif en configuration de mise au point mini.

Exemple 2

Le centre optique d’un objectif rétrofocus est généralement situé à l’arrière du système optique (comme dans le cas du ménisque divergent ; voir plus haut). Optiquement, O appartient au verre du dernier élément.

Le centre optique O du Nikkor 28 mm f/2.8 (figure suivante) est situé 18,9 mm en arrière du système optique. Les points nodaux N et N’ sont tous deux à gauche du point O. Dans l’espace objet, le rayon représenté en noir est porté par une droite passant par N ; dans l’espace image, il coupe lui-même l’axe optique en N’.

Fig. 21 : AF Nikkor 28 mm f/2.8.

Exemple 3

Le centre optique O d’un téléobjectif est généralement situé à l’avant du système optique (comme dans le cas du ménisque convergent). Optiquement, O appartient au verre du premier élément.

Le centre optique du Nikkor 180 mm f/2.8Ais (figure suivante) est situé 200,9 mm en avant du système optique. Les points nodaux N et N’ sont tous deux situés à droite du point O. Dans l’espace objet, le rayon représenté en noir coupe l’axe optique en N ; dans l’espace image, il est porté par une droite passant par N’.

Fig. 22 : Nikkor 180 mm f/2.8Ais.

Exemple 4

La figure animée suivante montre le déplacement du centre optique O d’un zoom rétrofocus à deux groupes (Zoom-Nikkor 35-70 mm f/3.5Ais) lors de la variation de la distance focale —voir également le déplacement du centre optique O du Zoom-Nikkor 28-85 mm f/3.5-4.5.

Remarque :

Au cours de l’évolution de la distance focale, la variation du diamètre du diaphragme d’ouverture permet de maintenir le Nombre d'ouverture constant.

Fig. 23 : Zoom-Nikkor 35-70 mm f/3.5Ais. Points cardinaux et centre optique.

Au cours de la variation de la distance focale, le point nodal image N’ et le centre optique O se déplacent à des vitesses différentes. Les courbes de déplacement de ces deux points par rapport à l’apex de sortie du dernier élément ne présente aucune discontinuité.

Remarque :

Lorsque la position du centre optique O coïncide avec l’apex de sortie du dernier élément, alors O et le point nodal image N’ sont confondus (seule configuration où le point O et son image N' sont confondus).

De la même manière, lorsque la position du centre optique O coïncide avec l’apex d'entrée du premier élément, alors O et le point nodal objet N sont confondus (seule configuration où le point O et son image N sont confondus).

Contrairement aux objectifs symétriques, les pupilles d’entrée et de sortie des objectifs dissymétriques ne coïncident généralement pas avec les plans principaux du système. Figure suivante, sont représentées les pupilles d’entrée et de sortie de l’Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro en configuration de mise au point à l’infini d’une part, et à distance de mise au point mini d’autre part.

- En rouge, la pupille de d’entrée, image de la pupille du diaphragme d’ouverture vue depuis l’avant du système.

- En bleu, la pupille de sortie, image de la pupille du diaphragme d’ouverture vue depuis l’arrière du système.

Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro – Pupilles d'entrée et de sortie.

Fig. 24-1 :  Objectif en configuration de mise au point à l’infini.

Fig. 24-2 : Objectif en configuration de mise au point mini.

Quelle que soit la distance de mise au point affichée, la pupille d’entrée de cet objectif reste au voisinage immédiat du diaphragme d’ouverture ; la position de son centre P est relativement stable. La distorsion pupillaire est plus marquée en configuration de mise au point à l’infini.

Le point autour duquel un système épais doit tourner pour qu’aucun défaut de parallaxe n’apparaisse sur l’image est le centre P de la pupille d’entrée. Autrement dit, si l’objectif oscille autour du point P, les images A’ et B’ de deux points objets A et B portés par une même droite passant par P se superposent toujours parfaitement sur le récepteur (voir figure suivante).

Fig. 25 : Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro en configuration de mise au point à l’infini. Oscillation autour du centre P de la pupille d’entrée.

Nota :

L’objectif étant en configuration de mise au point à l’infini, l’image A’ du point A infiniment éloigné est nette sur le récepteur. L’image B’ du point B situé à distance finie est floue. Les centres de A’ et de B’ sont cependant confondus, et le restent quelle que soit l’inclinaison de l’objectif.

Lorsque l’objectif oscille autour de son point nodal image N’, l’image A’ d’un objet A infiniment éloigné reste sur l’axe AN’ (voir figure suivante). Au cours de l’oscillation de l’objectif, on observe cependant une défocalisation sensible du point image A’ due au fait que le plan focal de l’objectif tourne également autour de N’.

Lorsque l’objectif oscille autour de son point nodal image N’, le point de vue change à chaque instant. Aussi, les images A’ et B’ de deux points objets A et B portés par une droite passant par N’ ne se superposent plus dès que l’objectif s’incline.

Fig. 26 : Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro en configuration de mise au point à l’infini. Oscillation autour du point nodal image N’.

Comme dans le cas d’un objectif symétrique, pour assurer la stabilité axiale de l’image aux valeurs de grandissement plus proches de l’unité, l’objectif doit osciller autour d’un point O’ dont la position est donnée par la relation :

O’B’ / O’B = g

Pour l’Olympus 50 mm f/2 Macro en configuration de mise au point mini (g = –0,52), le point O’ permettant la stabilité axiale de l’image est situé derrière le centre optique (voir animation suivante).

Fig. 27 : Olympus Zuiko Digital ED 50 mm f/2 Macro en configuration de mise au point mini. Oscillation autour du point O’.

Stabilité axiale au grandissement g = –0,52.

Conclusion :

Lorsqu’il est question d’objectifs réels, le centre optique ne présente aucune propriété particulière hormis le fait d’avoir pour conjugués les points nodaux N et N’.

PT, le 4 avril 2020.

Pierre Toscani (2008-2020) • Photos, textes et illustrations ne sont pas libres de droits